Пишет  the entity:

Заблуждения, ошибки интуиции и теория вероятности
Наша жизнь полна случайностей, и я хочу поговорить о том насколько плохо и ненадежно работает человеческая интуиция, когда дело доходит до анализа этих случайностей и принятия решений.
Раздел математики, который изучает случайные события - Теория вероятности - для многих оказывается одним из самых сложных даже при базовом освоении, несмотря на то, что для этого достаточно знать арифметику: уметь складывать, делить и умножать. И все же основы теории вероятности - это одно из самых практичных знаний в математике, ведь принимая решения, мы практически всегда прикидываем вероятности, пусть и не осознаем этого.

В этом посте я попытался собрать самые яркие примеры конфликта интуиции и математики, отсортировать их по актуальности и максимально просто объяснить в чем интуиция ошибается. Вышло очень много текста, поэтому вы увидите кучу тегов more, с помощью них я попытался расставить приоритеты: если вас заинтересовал кусок текста - щелкайте "читать дальше" и узнаете больше деталей, если не очень - смело пропускайте.

1.
Одним из наиболее распространенных и известных заблуждений является "Ошибка игрока". Даже если вы не знали названия, скорее всего вы уже слышали об этом заблуждении и сами его легко распознаете время от времени.
читать дальше Суть ошибки в том, что играя в азартные игры (например, спор на подбрасывание монетки) люди склонны мыслить так: "Если я выиграл 9 раз подряд, то значит сегодня мой счастливый день и в 10-ый раз я тоже скорее всего выиграю", или наоборот "Если я проиграл 9 раз подряд, значит в следующий раз я скорее всего выиграю, ведь вероятность проиграть 10 раз подряд практически равна нулю!". Т.е. предпочитают считать, что вероятность желаемого исхода зависит от предыдущих исходов случайного события, что на самом деле не верно, одно бросание монетки никак не связано с другим, и не может повлиять на него. Если ты проиграл 9 раз подряд, то вероятность проиграть 10 раз подряд равна вероятности проиграть в следующий раунд - т.е. 50%, в случае с монеткой. Хотя действительно, в начале игры, вероятность проиграть 10 раз подряд была очень мала: (1/2)¹⁰ ≈ 0.1%, вот только в начале игры 9 проигрышей еще не произошли и вероятности каждого из них были 50%, а сейчас они уже произошли, и их вероятности возросли до 100% (условно говоря).
Эта ошибка распространяется не только на азартные игры. В той или иной ситуации у каждого человека мысли сворачивают в эту степь: "Три экзамена сдал на 5, остался еще один. Тьфу-тьфу чтоб не сглазить!", "Давно я деньги на земле не находил, скоро должно что-то попасться, и наверное даже что-то крупное!", "Не везет с деньгами - повезет в любви!".

2.
Следующее заблуждение намного сложнее понять и разоблачить, оно неистребимо сидит в голове у каждого человека, включая тех, кто пишет статьи о нем. Это - "Парадокс закономерности". В большинстве случаев, человек, увидев явную закономерность в результатах серии событий, будет склонен считать, что события не являются случайными, потому что появление этой последовательности в случайных испытаниях является маловероятным.
читать дальшеВы можете прямо сейчас испытать это на себе в следующей воображаемой игре: Представьте, что вы просите друга подбросить монету 30 раз и записать результаты на листочке. Затем, на другом листочке, написать другие 30 результатов подбрасываний, которые на самом деле не произошли (друг может выбрать их произвольным образом). Затем он показывает вам листочки, и вы видите:
на первом листочке - "РОООРООРРОРОРРООООРРОРОРРОРРРО",
а на втором - "РОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРОРО".
Вы должны указать на выдуманную другом последовательность. На какую бы вы указали?
Готов поспорить, что вы укажете на второй листочек. Да, друг конечно мог попытаться запудрить вам мозги и придумать сложную последовательность, подобную первой, но в таком случае он должен был бы выбросить вторую с помощью монетки. Т.е. выбросить "РО" 15 раз подряд! А это просто невероятно. Давайте даже посчитаем вероятность, чтобы окончательно убедиться. Вероятность выбросить "РО" один раз равна 1/4, так как это один из 4ех возможных вариантов: РР, РО, ОР, ОО. А вероятность сделать это 15 раз подряд равна (1/4)¹⁵ ≈ 0.0000001%. Таки да, невозможно такое выбросить.
читать дальшеДля полноты картины представьте вариант "попроще", что на втором листочке написана другая последовательность - "РОООРООООООООООООООООООРРОРРРО". Тут вы уже можете засомневаться - а вдруг и выбросил? Но все равно не верится, правда ведь? Да даже если и выбросил - вероятность этого очень мала. Концы выглядят нормально, но вот в середине очень смущает кусок из 18 О подряд... вероятность выбросить 18 О подряд (1/2)¹⁸ ≈ 0.0004% - вряд ли монетка могла бы "лечь" таким уникальным образом.

Именно об этом мне кричит интуиция: "Вторая последовательность никак не могла быть выброшена, а вот первая - легко; Укажи на вторую - и будешь иметь 99.9...%-шанс угадать". И тем не менее, с точки зрения математики, вторая последовательность ничем не лучше первой и всех других, выглядящих менее и более случайными. Подумайте, все они включают по 30 бросков и в каждом броске у вас есть 50%-шанс получить конкретный результат, а потому вероятность выбросить любой конкретный набор из 30 Р/О будет (1/2)³⁰ ≈ 0.0000001%. Потому какой бы листок я ни выбрал, шансы угадать у меня 50 на 50.
читать дальшеЧтобы отделить мух от котлет, замечу, если бы вы заранее попросили друга выбросить конкретный ряд "РОРО....РО" и он бы выбросил его с первой попытки - это бы правда было чудо. Но вы не просили, и он выбросил просто одну закономерность из множества возможных, если бы он не выбросил "РО...РО", то выбросил бы 18 О подряд, или 20 Р подряд, или день рождения вашего соседа, записанный в двоичной системе счисления. Существует бесконечное число вариантов закономерностей, и буквально в любой последовательности можно найти их пару штук, было бы желание. Так что не стоит удивляться, когда одна, наперед не заданная, закономерность оказывается выброшенной с помощью монеты и замечена вашим мозгом, натренированным замечать конкретно этот тип закономерностей.

В жизни никто не играет в такие игры, и тем не менее, жизнь - это последовательность событий и мы постоянно выискиваем в ней закономерности-совпадения, а затем считаем их неслучайными. Если вы провалили сделку после того как черная кошка перебежала вам дорогу, то возможно суеверие про черных котов не такая уж и глупость? Если вы влюбились в девушку, а потом оказалось что у вас совпадают дни рождения, и в придачу у вас цвет глаз одинаков - то видимо сама судьба велит вам быть вместе? Если ваш дядя умер во время парада планет, то уж точно планеты влияют на жизнь людей.
А помните доказательство существования Бога, исходящее из «Антропного принципа»? Вот оно из той же оперы. читать дальше."Появление человека было возможно только при сочетании чрезвычайно жестких и парадоксально маловероятных условий!: фиксированного расстояния от Солнца (немного ближе к нему — и живые организмы сгорели бы, немного дальше — замерзли); наличия вращения Земли (без которого на одной половине планеты царила бы невыносимая жара, а на другой - вечные льды); существования Луны - спутника определенного размера, обеспечивающего сложную систему циркуляции водных потоков; полезные ископаемые и ресурсы: уголь, металлы, нефть, воды и т.п., без которых не могла бы возникнуть и развиваться техногенная цивилизация, и т.д. Все это настолько маловероятно, что просто обязано быть не случайным и "рукотворным"." Вот только, если бы на Земле не было бы ни людей, ни атмосферы, а просто валялись голые камни и песок, то, если задуматься, камни эти были бы расположены определенным образом, и это конкретное расположение, пусть и не имея в себе очевидных закономерностей, было бы ужасно маловероятным, считай - невозможным; вся разница в том, что в таком мире не было бы человека, чтобы объяснить это уникальное расположение камней существованием Бога.

3.
"Какова вероятность что завтра пойдет дождь? 50 на 50 - или пойдет, или не пойдет.", - так иногда люди шутят о своей способности оценивать вероятности. И попадают точно в яблочко.
Люди не так часто оценивают точные вероятности, но иногда проходится: в играх, в медицине, оценивая статистику в новостях, а у некоторых людей даже работа связана со статистикой. Наиболее распространенная ошибка тут совершается на первом этапе, о котором большинство даже не подозревают: выбор того, что называется "вероятностным пространством". Вероятностное пространство - это множество всех элементарных исходов ситуации, и четко заданная вероятность каждого исхода. Элементарные исходы - это исходы, посредством которых можно определить любое возможное событие. Например, при броске игрального кубика элементарными исходами являются "выпало 1", "выпало 2", ..., "выпало 6"; объединяя их можно получить любое возможное события, например "выпало четное число", "выпало число, больше 4". И вот люди склонны делать данный выбор неосознанно и халатно, в результате они могут от балды предположить, что вероятности всех исходов равны, а то и вовсе проигнорировать некоторые элементарные исходы. Не понятно? - читайте примеры.

3.1. Хороший пример - это "Задача трёх карточек": В мешок кладут три разные карточки: одна - белая с двух сторон; вторая - черная с двух сторон; а третья - с одной стороны белая, а с другой черная. Карточки в мешке перемешивают, вытягивают одну и кладут на стол. Вы видите что карточка черная с одной стороны. Какова вероятность того, что она черная и со второй?
Многие рассуждают так: "Если карточка черная с одной стороны, значит это либо вторая, либо третья карточка; в одном случае она со второй стороны черная, а в другом - белая. А значит ответ 1/2, или 50%."
На самом деле предположение, что эти два случая равновероятны неверно, и правильный ответ - 2/3.
читать дальшеЧтобы понять почему, важно обратить внимание на то, что мы не просто вытащили одну из трех карточек, а вытащили определенной стороной вверх (одной из двух) и мы уже знаем цвет этой стороны (она черная). Давайте рассматривать все эти факты по порядку. Во-первых, событие "вытащить карточку" - имеет три исхода, все они равновероятны. Во-вторых, событие "карточку повернут определенной стороной" имеет два исхода, они тоже равновероятны. Итого, до того как мы увидели карточку, равновероятными были 6 исходов:
1) первую карточку вытащили первой (белой) стороной вверх,
2) первую - второй (белой) стороной вверх,
3) вторую - первой (черной),
4) вторую - второй (черной),
5) третью - первой (белой),
6) третью - второй (черной).
И наконец, как только мы видим черную сторону, мы узнаем, что возможны только три из этих исходов (№3,№4,№6). В двух из них вытащили вторую карточку, и только в одном - третью, а значит 2 шанса из 3-ех, что нижняя сторона карточки черная.

3.2. Другой пример - когда полностью игнорируется один из возможных итогов. Такой случай еще называют парадоксом Берксона. читать дальше
Предположим, что больнице нужно провести исследование корреляции (связи) двух болезней. Скажем, диабета и плоскостопия. В больнице проводится опрос: больны ли вы диабетом или плоскостопием? Всего опрошено 10000 человек, 100 из них оказываются больны диабетом, 1000 - плоскостопием, и из числа последних только 5 и диабетом и плоскостопием. Подсчитываем и получаем, что среди всех плоскостопием больны 10%, но среди диабетиков, только - 5%. Отсюда делается вывод, что диабет понижает риск заработать плоскостопие, в целых два раза! Результат необычный, но расчеты элементарные и похоже все верно, так ведь?
Нет, не так. Опрос проводился только среди людей, имеющих причину прийти в больницу. Кроме опрошенных в городе живет еще 10000 абсолютно здоровых людей, и если мы добавим их в выборку, то получим что на самом деле среди всех людей только 1000/20000=5% болеют плоскостопием - ровно сколько же сколько среди диабетиков. И вот уже у нас выходит, что диабет никак не связан с плоскостопием.

3.3. Из той же оперы ситуация, когда люди путают неизвестное и неосуществленное. Проиллюстрируем ее с помощью "Парадокса Пари": читать дальше
Двое мужчин дарят друг другу на Новый год галстуки, купленные их жёнами. Выпив, они начинают спорить, у кого галстук дешевле. Наконец, они решают заключить пари — они узнают у жен стоимости галстуков, и тогда спорщик с более дорогим галстуком считается проигравшим, и отдаст свой галстук выигравшему.
Первый человек рассуждает следующим образом: «О галстуках мы ничего не знаем, потому победа и поражение одинаково вероятны. Если я проиграю, я потеряю стоимость моего галстука. Но если я выиграю, то я выиграю больше, чем стоимость моего галстука! Поэтому я только что заключил очень выгодное для меня пари».
Второй мужчина рассуждает так же, и, как ни парадоксально, кажется, что оба мужчины имеют преимущество в этом пари.

На самом деле это конечно не возможно. Ошибка мужчин в том, что хотя они одинаково не знают цен обоих галстуков, галстуки уже куплены, и если, например, у первого самый дешевый галстук в мире, то у второго может оказаться более дорогой галстук, а более дешевый - не может. Чтобы прикинуть точные шансы в пари мужчинам нужно было бы определить ассортимент галстуков в магазинах и вероятности найти галстук с каждой из возможных цен - т.е. "вероятностное пространство".
Например, в магазинах города с вероятностью 40% продаются галстуки за 500 рублей и с вероятностью 60% - за 1000. Тогда возможно 4 варианта развития событий:

галстук первого	галстук второго	вероятность ситуации	прибыль первого	прибыль второго
500 р.	500 р.	16%	0 р.	0 р.
500 р.	1000 р.	24%	выиграет 1000 р.	проиграет 1000 р.
1000 р.	500 р.	24%	проиграет 1000 р.	выиграет 1000 р.
1000 р.	1000 р.	36%	0 р.	0 р.

Как видим, и первый и второй, заключая подобные пари, в среднем будут выигрывать по 0 рублей. Ни у одного из них нет преимущества, как и должно быть ввиду симметричности пари.

4.
Когда речь заходит об анализе нескольких групп вещей (или людей), интуиция очень сильно упрощает ситуацию и придумывает "законы сохранения", которых на самом деле не существует.

4.1. Например, феномен У. Роджерса. Пусть у нас есть информация о среднем состоянии (в дальнейшем "с.с.") жителей города и с.с. жителей пригорода. Что будет, если "переселить" жителя из одной группы в другую? Интуиция подсказывает, что с.с. в одной из групп уменьшится, а в другой, соответственно, - увеличится. Но это не так.
Пусть с.с. жителя города составляет 20 тыс. долларов, а пригорода - 10 тыс. долларов. Возьмем жителей города, у которых состояние около 15 тыс и начнем причислять их к пригороду. После этого, чисто условного действия, среднее состояние и города и пригорода увеличится.
читать дальше Если не верите, вот численный пример:
Рассмотрим очень маленький город, в котором живут 5 человек Состояние у них по 16, 17, 20, 23 и 24 тыс. долларов. А в пригороде живут 4 человека с 8, 9, 11 и 12 тыс. долларов. Среднее состояние в городе 20 тыс, в пригороде - 10 тыс. "Переселяем" самого бедного горожанина в пригород, среднее состояние в городе станет (17+20+23+24)/4 = 21 тыс., а в пригороде (8+9+11+12+16)/5 = 11.2 тыс.
Очень практично для тех кто решает в каком виде представить информацию народу, не правда ли?

4.2. Парадокс Юла—Симпсона показывает, что вывод из статистики может быть изменен на противоположный при делении выборки на группы. читать дальше
Пусть в качестве тестирования нового препарата его начали давать группе мужчин и женщин, больных одной и той же болезнью. Результат по обеим группам в отдельности подтверждает эффективность нового средства, так как процент выздоровевших увеличивается:

Мужчины	Плацебо	Препарат
Всего	210	1500
Выздоровевшие	80	700
Процент выздоровевших	38%	46%
Женщины
Всего	680	220
Выздоровевшие	400	150
Процент выздоровевших	59%	68%

Но если рассматривать мужчин и женщин вместе, то оказывается, что препарат лишь мешал выздоравливанию:

Мужчины и Женщины	Плацебо	Препарат
Всего	890	1720
Выздоровевшие	480	850
Процент выздоровевших	54%	49%

4.3. Еще один пример - это пошаговые выборы. Иногда выборы проводятся в два этапа, на первом из которых избиратели в каждом из округов выбирают по делегату, а на втором - делегаты уже непосредственно голосуют за кандидата. В этом случае, даже если делегаты будут голосовать именно так как им скажет округ, президентом может оказаться тот, кого не поддерживает большинство простых избирателей. читать дальше
Например, в стране 100 человек, поделенных на 10 округов по 10 человек. В первых шести округах по 6 человек за кандидата, а 4 - против. В итоге, каждый из них отправляет на выборы делегата, который будет голосовать "за" (в соответствии с большинством). В остальных четырех округах все 10 человек против кандидата. Они голосуют и отправляют делегатов, которые будут голосовать "против". Итого из делегатов 6 человек "за", и 4 "против" - кандидат проходит с перевесом в 20% голосов. При этом, из всех избирателей 36 человек были "за", и 64 человека было "против" - если провести выборы в один этап, то кандидат бы проиграл с разрывом в 30% голосов.
Выборы президента у нас конечно проходят по-другому. Но вот выборы законопроектов, по сути именно так и проходят - посредством выбора партий, выбирающих законопроекты.

5.
Следующий тип ошибок интуиции возникает из-за попыток обращаться со случайными величинами так же как с постоянными.

5.1. Например, в нашем мире не всегда можно выбрать лучшее с помощью попарного сравнения событий, случайные величины не обладают свойством транзитивности.
Пусть у нас есть три кубика: зеленый, синий и красный. На каждой грани кубиков написано число от 1 до 6. В отличии от обычных кубиков, не все числа обязаны присутствовать на кубике, и они могут повторяться. Благодаря этому кубики разные и их можно попытаться упорядочить "по силе". Для этого мы берем два кубика, бросаем их, если число на первом больше, чем на втором, то первый выиграл. Тот кубик, который чаще выигрывает будем называть более "сильным". Допустим, мы выяснили, что зеленый кубик сильнее синего, а синий сильнее красного. Можно ли утверждать, что зеленый сильнее красного? Как выясняется - нет, оказывается можно написать такие числа на гранях, что для любого из трех кубиков найдется более сильный.
читать дальшеНапример, на зеленом пишем: 2, 2, 2, 2, 6, 6; на синем: 1, 1, 4, 4, 4, 4; на красном: 3, 3, 3, 3, 3, 3. Зеленый побеждает синий, когда на зеленом выпадает 2, а на синем 1, либо когда на зеленом 6, это в 4*2+2*6=20 из 36 случаев (больше половины), синий побеждает красный, когда на синем выпадает 4, т.е. в 4*6=24 из 36 случаев (больше половины), и, наконец, красный побеждает зеленый тоже в 4*6=24 из 36 случаев (больше половины).

5.2. Дальше - Больше. Результат сравнения случайных величин сильно зависит от способа сравнения, даже на первый взгляд идентичные способы сравнения могут привести к противоположным результатам. читать дальшеПарадокс Блайта иллюстрирует этот факт. Заранее прошу прощение за множество вычислений, вы можете либо проследить и проверить их, чтобы убедиться что "парадокс" правда имеет место, либо просто принимать на веру результаты.
Опять возьмем зеленую, синюю и красную игральную кость, но в этот раз 12-гранную.
На зеленой напишем: 11 раз по 3 и 1 раз 1;
на синей: 7 раз по 2, 3 раза по 4 и 2 раза по 6;
на красной: 7 раз по 1, и 5 раз по 5.
Сначала сравниваем зеленую и синюю, так же как в предыдущем пункте. Зеленая будет побеждать чаще чем синяя, это будет происходить, когда на зеленой кости выпало 3, а на синей - 2, т.е в 11/12*7/12≈53% случаев. В паре синяя-красная чаще будет побеждать синяя: когда либо на ней 6, либо на красной 1, это 2/12+10/12*7/12≈65% случаев. А при сравнении зеленой и красной кости, опять первенство будет у зеленой, она будет побеждать в 11/12*7/12≈53% случаев. Таким образом, зеленая кость у нас самая "сильная" (сильнее двух остальных), затем идет синяя (сильнее красной), и красная оказывается самой "слабой" из троих.
Все складно и непротиворечиво. Но зачем сравнивать попарно, если можно бросать все три кости одновременно, на какой выпало наибольшее число - та и победила двух остальных? Вроде тот же процесс, но быстрее?
Как ни странно, это опрометчивый вывод. При бросании трех костей сразу все становится с ног на голову - чаще всего будет побеждать красная кость, затем синяя, а реже всех - зеленая. Считаем. Зеленая побеждает только когда на ней выпало 3, на синей - 2, а на красной - 1, это 11/12*7/12*7/12≈31% случаев; синяя побеждает либо когда на ней выпало 6, либо на ней 4, а на красной 1, либо на ней 2, а на зеленой и красной 1: в 2/12+3/12*7/12+7/12*1/12*7/12≈34% случаев; а красная побеждает, когда на ней выпадает 5, а на синей 2 или 4: в 5/12*(7/12+3/12)≈35% случаев - чаще всех остальных. Выходит в таком подходе самая сильная кость - это красная, а самая слабая - зеленая.
Теперь представьте, что речь идет не об игральных костях, а о трех разных стратегиях на бирже, или об эффективности трех лекарств...

5.3. Третий пример, когда обычная логика не работает со статистическими величинами - это Парадокс Грайса. читать дальшеОбычно, когда у нас есть утверждение "Если А, то Б", то мы можем записать "Если не Б, то не А". Например, "Если я завтракаю, то сейчас точно утро" равносильно тому чтобы сказать "Если сейчас не утро, то я сейчас не завтракаю". Это не работает, когда речь заходит о непостоянных событиях.
Представим, что Коля и Федя сыграли 100 партий в шахматы, без ничьих.
Коля, играя белыми, выиграл 60 игр и проиграл 20.
А играя черными, выиграл 0 игр и проиграл 20.

Отсюда следует, что:
В 2/3 случаях, когда Коля играл белыми, он выиграл. (1)
В 1/2 случаев, когда Коля проиграл, он играл черными. (2)

Применим к утверждению (2) логическое преобразование, которое было описано выше на примере завтрака. Выйдет:
В 1/2 случаев, когда Коля играл не черными, он не проиграл.
или эквивалентное:
В 1/2 случаев, когда Коля играл белыми, он выиграл. (2")

Не сложно заметить, что (2") противоречит (1).


6.
Наконец, очень много ошибок совершается просто по невнимательности, люди придумывают быстрые эмпирические правила и затем применяют их "отключив мозги" к ситуациям, к которым они не применимы.

6.1. Например, люди склонны верить, что когда тест с ошибкой тестирования в 1% показывает, что у вас болезнь Х, это значит что шансы 99 к 100, что у вас эта болезнь. На самом деле все сложнее, и если болезнь Х очень редка, то шансы быть больным при положительном результате теста у вас намного-намного ниже.
читать дальшеЭто не так уж сложно показать, хотя может быть сложно поверить. Пусть среди 10 млн. населения 100 человек болеют Х. Применим ко всему населению тест болезни Х, который, в 1% случаев показывает неправильный результат (т.е. здорового человека называет больным, или наоборот).
Среди 100 больных человек, где-то 99 будут определены как больные, и 1 - как здоровый.
Среди 9999900 здоровых человек, где-то 9899901 будут определены как здоровые, и 99999 - как больные.
Имеем, что всего больными были названы 100098 человек, среди них только 99 действительно больны. Т.е. если тест назвал вас больным человеком, то шансы быть больным у вас вовсе не 99%, а около 0.1%.
Тут конечно очевидно, что подобная надежность теста для редких болезней неприемлема. Тест должен быть разнобоким, учитывать различные симптомы, предоставляя итоговую надежность хотя бы порядка 0.001%, и то в этом случае примерно половина "больных" будут на самом деле здоровы.
У американцев даже есть название для вышеописанного заблуждения "false positive paradox" ("Парадокс ложного положительного результата").

6.2. Если вам не известен "Парадокс дней рождения", то задайтесь вопросом: высока ли вероятность того, что у двух учеников из одного класса день рождения совпадает? Многие тут прикидывают "на пальцах", что дней в году намного больше чем учеников в классе, а значит ответ - "маленькая". Ну а если так сильно просят назвать конкретную цифру, то можно разделить ~30 (учеников) на ~300 (дней в году), и получить где-то 0.1=10% - видите, и правда маленькая.
На самом деле уже при 23 учениках вероятность больше 50%, а при 30 - она и вовсе 70%.
Все потому что вероятность пропорциональна не столько количеству человек в классе, сколько количеству всевозможных пар учеников. Но и тут не все так просто, ведь вероятность не может превысить 100% даже если количество учеников вдруг превысит число дней в году. На деле выходит весьма длинная формула, если интересно, можете почитать статью на wiki.

6.3. Следующий пример - "задача трех узников":
Трое преступников, X, Y и Z заключены в одиночные камеры и приговорены к смертной казни. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и милует. Стража знает, кто помилован, но не имеет права сказать этого. X просит стражу сказать ему имя заключённого, кто точно будет казнён: «Если Y помилован, скажи мне, что казнён будет Z. Если помилован Z, скажи мне, что казнён будет Y. Если помилован я, подбрось монету, и скажи Y или Z».
Стража идет на уступку и говорит, что Y будет казнён. X рад это слышать, он рассуждает так: "Изначально могли помиловать одного из троих, и мои шансы были 1/3. Теперь я знаю, что помилуют одного из двоих: либо меня, либо Z. Значит мои шансы возросли до 1/2".
X тайно делится всем произошедшим с Z. Z рад вдвойне и рассуждает так: "Стража назвала бы либо имя Y, либо мое, оба варианта для Х идентичны, а значит не несут никакой информации про Х, выходит вероятность выживания Х не изменилась, она равна 1/3; и так как помилуют либо меня, либо Х, то меня помилуют с вероятностью 2/3". Кто из них прав?
Многие люди, читая парадокс впервые (а иногда и при перечитывании) соглашаются с логикой X. Но именно он тут не прав, он даже не подумал, что его шансы и шансы Z могут отличаться. Z - подумал и был прав.


7.
Вот и подошли мои примеры к концу. Надеюсь заинтересовали они вас больше, чем утомили . На самом деле, конечно, парадоксов намного больше, многие из них вы можете найти в википедии, но я счел их либо не относящимися к теме, либо слишком похожими на уже озвученные, либо слишком специфичными и подходящими для узкой аудитории.

читать дальшеИ да, деление ошибок интуиции по разделам, которое я делал в этом рассказе - условное. Так "Ошибка игрока" (п.1) является частным случаем "Парадокса закономерности" (п.2), который, в свою очередь, обусловлен пропуском первого шага в анализе вероятностей (п.3). Ошибки в обращении с группами (п.4), являются частным случаем того как мы распространяем логику с постоянных величин на случайные события (п.5). И все ошибки без исключения являются следствием невнимательности (п.6.).


Подводя итоги, могу сказать, что люди чаще всего заблуждаются из-за того, что обращаются со случайными событиями так же как с постоянными величинами, ленятся четко определять вероятностное пространство, а также из-за банальной невнимательности. И все эти ошибки переворачивают мир с ног на голову.


К завершению, хочу привести анекдот-парадокс от Мартина Гарднера:
"Статистик каждый вечер обедает в ресторане, в котором посетителю предлагают на десерт яблочный или вишневый пироги, а изредка и черничный. Каждый раз статистик выставляет попробованному десерту оценку и делает выводы. И вот однажды, во время заказа, происходит диалог:
Официантка: Принести вам яблочный пирог?
Статистик: Нет. Я вижу, у вас сегодня пирог с черникой. Принесите мне лучше вишневый пирог.
Официантка скорее всего воспримет такой ответ как шутку, хотя в действительности статистик действует вполне рационально, максимизируя свой шанс получить самый вкусный пирог."

URL записи